|
En aquest apartat, exposarem els orígens de l'escala musical que fem servir a occident. Aquesta escala ha anat variant amb els anys, i l'actual és fruït de convenis, però té un fonament físic fort. |
|
Les matemàtiques tenen també gran importància en els seus orígens i la seva posterior evolució. Explicarem com es construeix l'escala musical a partir de proporcions de les freqüències de les diferents notes a partir d'una nota donada. I també, com això ha donat problemes per fixar una escala definitiva a gust de tothom.
L'origen de l'escala musical
| L'escala actual (escala occidental) és el resultat d'un llarg procés d'aprenentatge de les notes. Els pitagòrics van construir un aparell anomenat monocordi que es componia d'una tabla, una corda tensa i una tabla més petita que s'anava movent per la gran. | 
|
|
|
Els pitagòrics van observar que fent més o menys llarga la corda (movent la taula mòbil) es produïen sons diferents. Entre aquests sons van escollir alguns que eren harmoniosos amb el so original (corda sencera).
Els més importants, per la seva simplicitat i la seva importància a l'hora de construir l'escala musical, són:
Així, a partir d'un so original obtenim diferents notes harmonioses. Fent un petit esquema ens aclarirem més:
| Nota | Freqüència | Long. corda |
| Original | f | L |
| Octava | 2f | 1/2·L |
| Quinta | 3/2·f | 2/3·L |
| Quarta | 4/3·f | 3/4·L |
Si suposem que la nota inicial és el do, llavors l'octava, quinta i quarta són les notes:
| Nota base | Quarta | Quinta | Octava |
| Do | Fa | Sol | Do (1 octava més alta) |
que corresponen, respectivament, a la quarta, quinta i vuitena notes de l'escala diatònica (les tecles blanques del piano). Totes aquestes relacions entre les notes s'anomenen intervals.
La construcció de l'escala musical
Però, com es poden trobar les notes de la nostra escala musical a partir d'una nota base (tònica)?. Anem a fer un procés repetitiu a partir d'aquesta nota, fent servir les quintes i les octaves.
El que volem fer és trobar notes harmonioses amb la nota base que es trobin entre la nota original i la seva octava.
Suposarem que la nota original té una freqüència f. Llavors, l'octava tindrà freqüència 2f. Volem trobar notes que tinguin freqüència entre f i 2f
La primera que tenim és la quinta, la freqüència és 3/2·f. Correspon a una corda de longitud 2/3 la inicial.
El següent pas és trobar la quinta de la quinta. La freqüència serà 3/2·3/2 ·f=9/4·f. El problema és que aquesta nota té una freqüència més gran que 2f. El que fem és trobar una nota una octava més avall. És a dir, una nota amb freqüència 9/8·f.
Si anem repetint el procés obtenim les notes següents:
Hem obtingut 7 notes, comptant l'octava, que podem ordenar de freqüència més petita a més gran de la forma següent:
| Nota Base | f |
| 9/8·f | |
| 81/64 ·f | |
| Quinta | 3/2·f |
| 27/16·f | |
| 243/128·f | |
| Octava | 2·f |
D'aquesta forma hem obtingut 6 notes dins una octava. Però si ens fixem en la raó de freqüències d'una nota i l'anterior,
| (9/8):1=9/8 | 1,125 |
| (81/64):(9/8)=9/8 | 1,125 |
| (3/2):(81/64=32/27 | 1,185 |
| (27/16):(3/2)=9/8 | 1,125 |
| (243/128):(27/16)=9/8 | 1,125 |
| 2:(243/128)=256/243 | 1,053 |
sembla que hi ha un forat entre 81/64·f i 3/2·f. Curiosament entre aquest dos valors es troba 4/3·f, que correspon al que hem anomenat quarta.
Afegint la quarta, ens queda una escala de 7 notes amb aquestes raons entre les freqüències:
| Freqüència | Raó nota anterior | ||
| Tònica | Do | ||
| Segona | |
9/8=1,125 | Re |
| Tercera | 9/8=1,125 | Mi | |
| Quarta | 256/243=1,053 | Fa | |
| Quinta | |
9/8=1,125 | Sol |
| Sexta | 9/8=1,125 | La | |
| Setena | |
9/8=1,125 | Si |
| Octava | |
256/243=1,053 | Do |
A la columna de la dreta hem posat el nom de la nota que correspondria si la nota base fos el do.
Aquesta és l'escala que anomenem diatònica. Consta de 7 notes, la vuitena és la mateixa que l'anterior una octava més alta. Es corresponen a les tecles blanques del piano.
Podem veure que hi ha dues raons diferents: el to 9/8 i el semitò 256/243. La pregunta que ens fem és quina relació hi ha entre les dues raons. Es pot veure que dos semitons fan quasi un to (256/243)2 =1,109, però no és exactament el mateix.
Si ara féssim servir les quartes per anar trobant noves notes harmonioses, començarien a sortir les "tecles negres" del piano, és a dir, els sostinguts i els bemolls. Quan l'escala queda completa amb 12 notes (les tecles negres i les blanques), això és el que s'anomena l'escala cromàtica.
Com que un to no és exactament dos semitons, hi havia llocs on els intervals eren més grans o més petits que en altres llocs. Això donava problemes per afinar instruments amb intervals fixes com el piano o la guitarra. És per això que es va crear l'escala temperada o equitemperada. La quantitat de notes que té és la mateixa, però la forma d'afinació és diferent. A l' escala temperada, la raó entre la freqüència d'una nota i l'anterior és sempre constant.
Si anomenem r a aquesta raó, es complirà que les freqüències formaran una progressió geomètrica del tipus:
del que es dedueix que r12 = 2, d'on r =
= 1,059...
Aquesta escala resol els problemes d'afinació, però no podem oblidar que les notes més harmonioses eren les que s'havien trobat mitjançant el mètode geomètric, és a dir les de l'escala cromàtica. Instruments sense intervals fixos com violins, contrabaixos, etc.. poden fer servir l'afinació de l'escala cromàtica.