Glossari del curs Aquesta és una col·leccció de trucs molt útils 1 0 dictionary 1 1 1 0 1 1 0 10 Com s'aplica un percentatge? multipliquem el tant per cent per la quantitat i el resultat el dividim entre 100. Exemple: calculem el 8% de 430 $$\frac{8 \times 430}{100}=34.4$$ 1 0 0 0 1 percentatges 1 Com se sumen fraccions del mateix denominador? Per sumar (o restar) fraccions del mateix denominador simplement sumem els numeradors i deixem com a denominador el mateix que hi havia. Exemple: $$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{1+4+3}{5}=\frac{8}{5}$$ 1 1 0 0 1 fraccions 1 Com es multipliquen les fraccions? es multiplica numerador per numerador i denominador per denominador. Exemple: $$\frac{3}{5}\ \times\ \frac{7}{9}\ =\ \frac{3\times7}{5\times9}\ =\ \frac{21}{45}$$ 1 1 0 0 1 fraccions 1 Com se sap si un número és divisible per 2? Només poden dividir entre 2 els números acabats en 0, 2, 4, 6 o 8 1 0 0 0 1 múltiples i divisors 1 Com es pot saber el percentatge? plategem la igualtat de proporció entre les dades i el percentatge i el 100. Exemple: en un cine multisales estan projectant 14 pel·lícules de les quals 10 són americanes. Quin percentatge de pel·lícules americanes es projecta? Plantegem: $$\frac{10\ \text{americanes}}{14\ \text{pelis}}=\frac{\text{percentatge}\ \text{americanes}}{100}$$ per tant percentatge = $$\frac{10 \times 100}{14}$$ = 71.42 Vol dir que el 72.42% de les pel·lícules projectades són americanes. 1 1 0 0 1 percentatges 1 Com se sap si un número és divisible per 3? Només es poden dividir entre 3 aquells números que compleixen aquesta condició: al sumar les xifres que el formen el resultat és múltiple de 3. Exemple: es pot dividir el número 976380 entre 3? Sí, perquè si sumo les xifres 9+7+6+3+8+0 = 33, hi torno: 3+3 = 6, que és múltiple de 3 1 0 0 0 1 múltiples i divisors 1 Com se sap si un número és divisible per 5? Només poden dividir entre 5 els números acabats en 0 o 5 1 1 0 0 1 múltiples i divisors 1 Com s'aplica l'escala? com que l'escala és una proporció entre la distància sobre el paper i la distància real, es resol com una proporció. Exemple: La distància entre l'ermita i el meu poble sobre és de 2 cm mesurada en un mapa fet a escala 1: 25000. Quina és la distància real? Plantegem la proporció: $$\frac{1\ mapa}{25000\ real}=\frac{2\ mapa}{\times\ real}$$ d'on: $$\times\ =\ \frac{25000\times2}{1}\ =\ 50000\ cm\ =\ 500\ m$$ 1 1 0 0 1 escala 1 Com es pot calcular l'escala? cal posar en proporció la mida sobre el mapa i la mida real però mesurades en la mateixa unitat. Exemple: en el plànols d'un centre comercial la botiga de sabates està a 3 cm de la de roba infantil, mentre que caminant hi ha 300 m. A quina escala està fet el plànol? <ol><li>cal posar les mesures en la mateixa unitat (la més petita) 300 m = 30000 cm</li><li>fem la proporció:</li></ol>$$\frac{3\ mapa}{30000\ real}\ =\ \frac{1}{\times}$$ d'on x = $$\frac{30000\ \times\ 1}{3}\ =\ 10000$$ És a dir l'escala és 1 : 10000 1 1 0 0 1 escala 1 Com se sumen fraccions de diferent denominador? Primer cal substituir-les per d'altres equivalents però que tinguin el mateix denominador. Aquest serà el m.c.m. dels denominadors originals. Un cop ja tene el mateix denominador se sumen els numeradors i es deixa aquest denominador pel resultat. Exemple: sumem: $$\frac{1}{3}\ +\ \frac{7}{5}$$ <ol><li>calculem el mcm dels denominadors: mcm(3,5) = 15</li><li>susbtituïm les fraccions per d'altres equivalents però amb el nou denominador 15:</li><ul><li>$$\frac{1}{3}\ =\ \frac{5}{15}$$</li><li>$$\frac{7}{5}\ =\ \frac{21}{15}$$</li></ul><li>ara sumem:</li></ol><div style="margin-left: 40px;">$$\frac{5}{15}\ +\ \frac{21}{15}\ =\ \frac{5+21}{15}\ =\ \frac{26}{15}$$</div> 1 1 0 0 1 fraccions 1 Com es divideixen les fraccions? es multiplica en "creu": numerador per denominador i denominador per numerador. Exemple: $$\frac{3}{5}\ :\ \frac{7}{9}\ =\ \frac{3\times9}{5\times7}\ =\ \frac{27}{35}$$ 1 0 0 0 1 fraccions 1 Com puc saber si un problema es resol amb l'mcm o l'MCD? (<a href="http://www.edu365.com/aulanet/intermates/prestatgeria1.htm">mud </a>d'<a href="http://www.edu365.com">edu365.com</a>) Saber reconèixer en quin moment cal aplicar cada concepte és, sovint, el quid de les qüestions (tant a l'àrea de matemàtiques com en altres àmbits). Dius que ja saps calcular el mcd i el mcm però que no reconeixes quan escau de calcular un o l'altre per a problemes concrets. Això s'aprèn fent-ne molts! Si et sembla que tens clar que s'ha de fer servir l'mcd o bé l'mcm però no saps quin dels dos, una pregunta que et pot ajudar és: <ul><li> La solució ha de ser un nombre més petit que els que conec? Sí... llavors pot ser que faci falta el mcd (no és segur, només per aquesta raó, que el que necessitis sigui l'mcd però segur que no serà l'mcm) </li><li>La solució ha de ser un nombre més gran que els que conec? Sí... llavors pot ser que faci falta el mcm (tampoc no és segur com en el cas anterior que sigui l'mcm però pots excloure l'mcd)</li></ul> De vegades es diu que et pots fixar en les paraules mínim, més petit, màxim, més gran... però això sovint aporta confusions. Tot seguit es proposen tres exemples "molt clàssics" en un dels quals fa falta l'mcd, en un altre l'mcm i en un altre cap dels dos conceptes. En els enunciats hi veureu barrejades espressament (i no sempre amb una exquisida correcció lingüística) les paraules mínim i màxim perquè us adoneu que això no serveix per decidir. <ol><li> Per una parada passen tres línies d'autobús. De la línia A passa un autobús cada 10 minuts; de la línia B un cada 12 minuts; de la línia C un cada 15 minuts. En aquest moment hi ha un autobús de cada línia a la parada. En quin moment, el màxim d'aviat possible, és a dir que t'hagis d'esperar el mínim possible, es tornarà a donar aquesta circumstància? </li><li>La mare d'una noia que està acabant 3r d'ESO té el triple d'anys que la noia i la diferència entre l'edat del pare i la de la mare és igual que l'edat de la noia. A més se sap que l'edat de la noia és tres vegades la del seu germà. Quants anys té el pare? </li><li> Vols descompondre en quadrats formats per quadradets d'un paper quadriculat un rectangle que a la base hi pots comptar 180 quadradets de quadrícula i a l'altura 108. De quina mida seran els quadrats que faràs si vols fer-ne servir el mínim nombre possible, és a dir que els quadrats siguin el màxim grossos possible? x</li></ol> Quan ho hagis pensat una bona estona, pots <a onclick=" function onclick(event) { window.open("solumcd.htm", "solusolu", "width=350,height=300,top=150,left=150,scrollbars=yes,resizable=yes"); return false; } " href="http://www.edu365.com/eso/faqs/mates/mcdmcm.htm">mirar les solucions</a> i sabràs si has raonat correctament o no. 1 1 0 0 1 múltiples i divisors 1 Com es calcula el MCD? per calcular el màxim comú divisor de dos o més números hem de seguir aquests passos: <ol><li>descompondre els números en factors primers</li><li>construir el MCD agafant de les descomposicions els números primers que hagin sortit a TOTES les descomposicions amb l'exponent més petit.</li></ol>Exemple: calculem el MCD (20, 50) 1.- descomponem en factors primers:<div style="margin-left: 40px;">$$20\ =\ 2^2\ \times\ 5$$ $$50\ = \2\ \times\ 5^2$$ </div> 2.- per construir el MCD agafem el 2 i el 5 (amb el menor exponent, rebutgem per tant el $$2^2$$ i el $$5^2$$). Per tant MCD (20, 50) = 2 x 5 = 10 1 1 0 0 1 múltiples i divisors 1 Com es calcula el mcm? per calcular el mínim comú múltiple de dos o més números hem de seguir aquests passos: <ol><li>descompondre els números en factors primers</li><li>construir el mcm agafant de les descomposicions els números primers que hagin sortit en QUALSEVOL descomposició amb l'exponent més gran.</li></ol>Exemple: calculem el mcm(20, 50) 1.- descomponem en factors primers:<div style="margin-left: 40px;">$$20\ =\ 2^2\ \times\ 5$$ $$50\ = \2\ \times\ 5^2$$ </div>2.- per construir el mcm agafem el $$2^2$$ i el $$5^2$$ (amb el major exponent, rebutgem per tant el 2 i el 5) . Per tant $$\text{mcm}(20, 50)\ =\ 2^2\ \times\ 5^2\ =\ 10$$ 1 0 0 0 1 múltiples i divisors 1 Com es calcula un preu després d'un descompte? Per saber el preu d'un article després de fer-hi un descompte ho podem fer de dues maneres que porten al mateix resultat: <ol> <li>apliquem el percentatge de descompte al preu i, en acabat, li restem.</li> <li>restem del 100% del preu el percentatge de descompte i apliquem aquest nou percentatge al preu.</li> </ol> Exemple: Una camisa que val 30 té un 10% de descompte. Quan em costa? mètode 1: Calculem el 10% de 30, que són 3 i els restem de 30: 30-3= 27 mètode 2: Del 100% del preu de la camisa resto el 10% de descompte, per tant he de pagar el 90% de la camisa [100%-10%= 90%] Ara calculo el 90% de 30 que són 27 L'avantatge d'aquest segon mètode és que és més ràpid perquè la resta es pot fer mentalment en molts casos. 1 1 0 0 1 percentatges 1 Com es calcula un preu després d'un augment? Per saber el preu d'un article després de fer-hi un augment o recàrrec ho podem fer de dues maneres que porten al mateix resultat: <ol><li>apliquem el percentatge d'augment al preu i, en acabat, li sumem.</li><li>sumem al 100% del preu el percentatge d'augment i apliquem aquest nou percentatge al preu.</li></ol> Exemple: Una camisa que val 30 té un 16% d'IVA. Quan em costa? mètode 1: Calculem el 16% de 30, que són 4.80 i els sumem a 30: 30+4.80= 34.80 mètode 2: Al 100% del preu de la camisa sumo el 16% d'IVA, per tant he de pagar el 116% de la camisa [100%+16%= 116%] Ara calculo el 116% de 30 que són 34.80 L'avantatge d'aquest segon mètode és que és més ràpid perquè la suma es pot fer mentalment en molts casos. 1 1 0 0 1 percentatges 1 Com puc saber el percentatge d'augment o descompte? Exemple: Uns pantalons valien 80 però a les rebaixes els aconsegueixo per 60. Quin percentatge de descompte m'han fet? <ol> <li>calculem quants em descompten: 80-60 = 20</li> <li>plantegem la proporció per saber quina fracció del preu em rebaixen:</li> </ol> $$\frac{20\ \text{em descompten}}{80\ \text{valia}}\ =\ \frac{\times}{100}$$ d'on: $$\times\ =\ \frac{100\times20}{80}\ =\ 25$$ Em fan el 25% de descompte 1 1 0 0 1 percentatges 1